Kirchhoffove zakony - pravidelny stvorsten

[elektron99]

Ahoj, riesim priklad tykajuci sa Kirchhoffovych zakonov, a potrebujem poradit, ci sa mi ho podarilo vyriesit spravne alebo nie. Popripade pomoct s tym, co je zle.

V kazdej hrane pravidelneho stvorstenu je umiestneny odpor R a k dvom vrcholom je pripojene elektromotoricke napatie U. Napiste Kirchhoffove zakony pre tento obvod, urcite prudy pre jednotlive vetvy a vysledny odpor medzi lubovolnymi dvoma vrcholami stvrostenu.

Postupoval som nasledovne, nakreslil som si to takto :

Potom pre zjednodusenie prekreslil do tohto :

A nakoniec vyznacil uzly atd. :

A rovnice:
elektricky prud pretekajuci smyckou Ic a Id je rovny 0
uzol A: I1 - I3 - I4 = 0
uzol B: I8 + I9 - I10 = 0
uzol C: I4 + I7 - I8 = 0
uzol D: I3 + I7 - I5 - I6 = 0
uzol X: I - I1 - I2 = 0
uzol Y: I2 + I10 - I11 = 0

prud pretekajuci smyckou IA:
I2R=-Ue

prud pretekajuci smyckou IB:
-I2R+I4R+I8R=0

prud pretekajuci smyckou IC:
I3R+I6R-I4R-I7R=0
A kedze I3R=I4R a I6R=I7R, ziskavame pre smycku rovnicu 0=0

prud pretekajuci smyckou ID:
I5R+I7R-I6R-I8R=0
A kedze I6R=I7R a I5R=I8R, ziskavame pre smycku rovnicu 0=0

Co si o tom myslite? Dakujem velmi pekne.

[StefanST]

Ten prekreslený obrázok (druhý v poradí) je tak prehľadný, že sa dá všetko spočátať "z hlavy". Požiadavka je ale použiť Kirchhoffove zákony.

- Neviem prečo označuješ samostatne prúd pritekajúci do jedného konca rezistora vetvy CD a samostatne prúd odtekajúci z druhého konca toho istého rezistora. Iste existuje nejaký "zákon", že prúd pritekajúci do rezistore sa rovná prúdu vytekajúcemu z rezistora. Potom je tam jeden z prúdov zbytočne zavedený.
Iste, išlo by to aj takto, ale potom chýba vzťah medzi I6 a I7. A zbytočne to zväčšuje počet rovníc. A v Kirchhoffových zákonoch má jedna vetva asi len jeden (rovnaký) prúd.
- Podobne to platí aj pre vetvu DB a prúdy I5 a I9.

elektricky prud pretekajuci smyckou Ic a Id je rovny 0

Tomuto tvrdeniu nerozumiem, odkiaľ sa vzalo.

[elektron99]

Dakujem za radu, trochu som to teda upravil a dostal som nieco taketo.

uzol A: I1-I3-I4 = 0
uzol B: I5+I7-I8 = 0
uzol C: I4+I6-I7 = 0
uzol D: I3-I5-I6 = 0
uzol X: I-I1-I1 = 0
uzol Y: I2+I8-I9 = 0

smycka Ia: I2R = Ue
smycka Ib: I4R + I7R - I2R = 0
smycka Ic: I3R + I6R - I4R = 0
smycka Id: I5R - I7R - I6R = 0

Je to takto lepsie? Dakujem.

[maskrtnik01]

elektricky prud pretekajuci smyckou Ic a Id je rovny 0

Tomuto tvrdeniu nerozumiem, odkiaľ sa vzalo.

To nie je z metódy slučkových prúdov?

[StefanST]

... riesim priklad ...
(1) Napiste Kirchhoffove zakony pre tento obvod,
(2) urcite prudy pre jednotlive vetvy a
(3) vysledny odpor medzi lubovolnymi dvoma vrcholami stvrostenu. ...

pokračuj

[elektron99]

Prud pretekajuci jednotlivymi smyckami:
Smycka Ia: I2R=Ue, ale zaroven I2=1/2I z toho vyplvva I=2Ue/R

Smycka Ib: R(I4+I7-I2)=0, I4=1/4I, I7=1/8I, I2=1/2I, teda R(1/4I+1/8I-1/2I)=0 z toho vyplvva -1/8IR=0, prud pretekajuci touto smyckou je nulovy

Smycka Ic: R(I3+I6-I4)=0, I3=1/4I, I6=1/8I, I4=1/4I, teda R(1/4I+1/8I-1/4I)=0 z toho vyplývá 1/8IR=0, prud pretekajuci touto smyckou je nulovy

Smycka Id: R(I5-I6-I7)=0, I5=1/8I, I6=1/8I, I7=1/8I, teda R(1/8I-1/8I-1/8I)=0 z toho vyplývá -1/8IR=0, prud pretekajuci touto smyckou je nulovy

Odpor mezi A a B
I4R+I7R=RabI
1/4IR+1/8IR=RabI
Rab=3/8R

Myslim, ze by to malo byt vsetko. Dakujem velmi pekne za rady

[breta1]

Odpor mezi A B není 3/8R, ale 1/2R.
Zdůvodnění:
Je zřejmé, že mezi body C,D je nulové napětí, jsou to eqipotenciální body a ty můžeme zkratovat nebo tento odpor mezi C,D ignorovat.
Např. při zkratu bodů C,D (druhý obrázek) z horních 4 odporů bude R/2+R/2=R a k němu je paralelně spodní odpor R, takže výsledek je R/2.

[elektron99]

Hmm, priznam sa, ze tomu som teraz velmi nepochopil, ale skusim sa zamysliet.

[maskrtnik01]

Medzi A a B máme dva rovnaké deliče napätia. Ich stredové body sú C a D. Na nich sa vyskytuje (voči A aj voči B) napätie rovné polovici U.

A teraz keďže potenciál v bodoch C a D je rovnaký, na odpore medzi C a D je napätie 0V. Z toho potom vychádza prúd 0A (ohmov zákon). Odpor nič neovplyvňuje, preto je možné ho vynechať.

A po tomto kroku ostane jednoduché sériovo-paralelné zapojenie.

[breta1]

Aby to bylo zřejmé - červeným odporem v obr.1 neteče žádný proud, zdroj U nepozná, jestli tam červený R je nebo není, svorky C D můžeme klidně rozpojit (obr.2) nebo nebo zkratovat (obr.3).a v obvodu se nic nezmění.

[StefanST]

maskrtnik01, breta1: dali ste mu rybu, udica (a know how) však zostali u vás...

Vrátim sa ale k výpočtom:

Dopracovali sme sa k sústave Kirchhoffových rovníc. Zdalo by sa, že ich vyriešením dostaneme požadované prúdy jednotlivých vetiev:

uzol A: I1-I3-I4 = 0
uzol B: I5+I7-I8 = 0
uzol C: I4+I6-I7 = 0
uzol D: I3-I5-I6 = 0
uzol X: I-I1-I2 = 0 (opravené)
uzol Y: I2+I8-I9 = 0 (I9 ?)

smycka Ia: I2R = Ue
smycka Ib: I4R + I7R - I2R = 0
smycka Ic: I3R + I6R - I4R = 0
smycka Id: I5R - I7R - I6R = 0

K výsledku sa dá dopracovať úvahou, ako to urobil breta1, riešením sústavy rovníc, alebo s použitím vešteckej gule. V zadaní je požadované " určite prúdy pre jednotlivé vetvy" - z toho nevyplýva, ktorý spôsob použiť. Predpokladal som, keďže sme mali zostaviť rovnice podľa Kirchhoffových zákonov, že riešenie úlohy pôjde týmto smerom. Ale v nasledujúcom kroku sa dala prednosť vešteckej guli - označené tvrdenia nie sú odvodené, ale získané iným spôsobom (aj keď niektoré môžu byť správne).
Alebo sa mýlim?

Prud pretekajuci jednotlivymi smyckami:
Smycka Ia: I2R=Ue, ale zaroven I2=1/2I z toho vyplvva I=2Ue/R

Smycka Ib: R(I4+I7-I2)=0, I4=1/4I, I7=1/8I, I2=1/2I, teda R(1/4I+1/8I-1/2I)=0 z toho vyplvva -1/8IR=0, prud pretekajuci touto smyckou je nulovy

Smycka Ic: R(I3+I6-I4)=0, I3=1/4I, I6=1/8I, I4=1/4I, teda R(1/4I+1/8I-1/4I)=0 z toho vyplývá 1/8IR=0, prud pretekajuci touto smyckou je nulovy

Smycka Id: R(I5-I6-I7)=0, I5=1/8I, I6=1/8I, I7=1/8I, teda R(1/8I-1/8I-1/8I)=0 z toho vyplývá -1/8IR=0, prud pretekajuci touto smyckou je nulovy

Odpor mezi A a B
I4R+I7R=RabI
1/4IR+1/8IR=RabI
Rab=3/8R

Voľakedy (dávno) sme sa učili riešiť sústavu rovníc matematickými metódami. Neviem, ako sa to učí dnes...
Snáď by pomohlo vyriešiť najskôr zopár jednoduchších zapojení. Nabrať tak určitú rutinu aj prehľad v používaní Kirchhoffových rovníc, či riešení sústavy lineárnych rovníc.

[elektron99]

Ok, postupne. Co je zle na tomto?

uzol Y: I2+I8-I9 = 0 (I9 ?)

Sucet tecucich do uzlu Y sa musi rovnot vytekajucemu prudu, a ten je oznaceny ako I9. A teda I2+I8 = I9. Alebo nespravne?

[StefanST]

(1) I9 máš v rovniciach len raz - niečo nie je OK
(2) Aký je rozdiel medzi prúdom I (použité v uzle X) a I9 (použité v uzle Y)?

[OHAJ]

Ok, postupne. Co je zle na tomto?

uzol Y: I2+I8-I9 = 0 (I9 ?)

Sucet tecucich do uzlu Y sa musi rovnot vytekajucemu prudu, a ten je oznaceny ako I9. A teda I2+I8 = I9. Alebo nespravne?

Nie nesprávne, ale zle označené, lebo I9 si ani nemal indexovať, kedže to je zdrojový prúd I.
inak napísané I=I9